Использование математических методик в теоретической физике

Аннотация

Настоящая статья представляет интерес для молодых ученых-исследователей и преподавателей, докторантов, магистрантов, студентов, а также учеников старших классов школ, желающих закрепить свои знания в области математики и связанной с этими знаниями физики. В частности, рассматривается методика вычисления суммы рядов из натуральных чисел; знание этой методики, например, полезно для рассмотрения различных вопросов в области квантовой механики. Например, данная методика используется в квантовой теории углового момента при доказательстве квантования углового момента из соображений теории вероятностей в предположении, что возможные проекции момента на произвольную ось равны m (m=l, l-1,..., -l) и все эти значения проекции момента равновероятны, а оси равноправны. Приведены три метода для вычисления суммы из квадратов натуральных чисел: метод индукции, метод дифференциального исчисления и метод конечных разностей. Решение задачи несколькими методами может быть полезным, так как при совпадении результата, полученного разными способами, можно не сомневаться в его правильности; некоторые из методов, как будет показано ниже, могут быть обобщены для решения сходных и более сложных задач. Также приводится рассмотрение известной формулы Муавра-Эйлера, которая часто используется физиками-теоретиками в доказательствах теорем и формул, например, в борновском приближении, методе парциальных волн в квантовой теории рассеяния. Эйлер решал сложные математические задачи, результаты которых имеют практическое применение в теоретической физике, но удивляет то, что при решении этих задач, Эйлер использует только обычные математические знания и выводы с простейшими математическими функциями. В статье также приводится рассмотрение нахождения суммы рядов из обратных квадратов натуральных чисел. Приводится краткая справка о том, каким образом великая теорема Ферма была доказана группой математиков разных времен. Но главная интрига заключается в том, что до сих пор неизвестно, каким способом доказал ее сам Ферма.